Cet article est le deuxième de la série d’articles sur la Credit Valuation Adjustment (CVA). Dans le précédent, nous avions présenté une introduction du concept et parlé brièvement du risque de contrepartie sur les contrats dérivés. Nous aborderons dans cette partie, de façon plus pratique le calcul de la CVA Unilatérale.

I. Introduction au calcul de la CVA unilatérale

Calcul de la CVA

On considère là, un produit dérivé dont la maturité est T et qui a une valeur f0 aujourd’hui en assumant qu’il n’y ait pas de défaut à l’instant t=0.

Supposons que le défaut prenne place aux temps t1, t2… tn avec tn=T et la valeur du produit dérivé pour l’institution financière à l’instant ti est V(ti ,T). Avec :

  • V(ti, T) la valeur du produit dérivé à l’instant ti avant sa maturité T
  • A(t, y) le facteur d’actualisation ou discount factor entre les instants t et y avec t ≤ y
  • S le temps d’arrêt correspondant à l’instant où la contrepartie a fait défaut
  • R le taux de recouvrement ou recovery rate (expliqué ci-dessous)
  • P la mesure risque-neutre de crédit et de contrepartie et Ft la filtration associée à cette mesure
  • EE(t) l’espérance d’exposition (égale approximativement à la moyenne des valeurs positives de marché prises de façon aléatoire)

Valorisation de la CVA unilatérale [2]

CVA

Cette formule de la CVA unilatérale peut être discrétisée et simplifiée en utilisant les hypothèses suivantes :

  • Les expositions sont considérées indépendantes de la probabilité de défaut
  • Le taux de recouvrement R est considéré fixe

L’équation devient donc :

CVA 2

Avec :

l’espérance dans un monde risque neutre et ∆P(ti) la probabilité de défaut risque-neutre.

Ainsi donc l’exposition à t=ti correspond à la perte potentielle de l’institution financière. La perte espérée risque-neutre en cas de défaut à t=ti est-elle égale à :

∆P(ti)*(1 – R)*Ê[max(V(ti,T);0] avec Ê l’espérance dans un monde risque-neutre.

II. Lien entre paramètres intervenant dans le calcul de la CVA

Quand une entreprise fait faillite, les entités vis à vis desquelles elle a une dette peuvent réclamer les actifs de l’entreprise afin qu’ils soient revendus par le liquidateur et que leurs valeurs puissent être utilisées afin de compenser ce qui est dû.

Le taux de recouvrement R (introduit dans le paragraphe précédent) correspond au degré d’endettement dans le cas d’un défaut de l’entité. Considérons que le montant réclamé pour une obligation soit la valeur sans défaut de l’obligation. Ainsi, dans le cas d’un défaut de la contrepartie, le détenteur de l’obligation recevra la proportion R de la valeur sans défaut de crédit l’obligation, et en absence de défaut il recevra 100 % de la valeur sans défaut de l’obligation. La valeur sans défaut de l’obligation est de 100*y’(T) avec y’(T) le rendement zéro-coupon sur une obligation sans risque.

Soit P(T) la probabilité de défaut et donc 1 – P(T) la probabilité en l’absence de défaut.

La valeur de l’obligation est donc :

Comme la valeur de l’obligation est 100*e -y(T)T avec y(T) le rendement zéro-coupon sur des obligations émises par l’entité, alors :

En réarrangeant les termes cela donne la probabilité de défaut :

Conclusion

À travers cet article nous avons présenté la formule de la CVA unilatérale, de même que les éléments influant sur la mesure du risque de contrepartie. Dans le prochain article, la mise en application du calcul de la CVA sur les contrats de produits dérivés du marché Forex (taux de change) sera présentée.

Références